Pernyataan
berkuantor
Pernyataan
berkuantor merupakan pernyataan yang melibatkan beberapa atau semua anggota
semesta pembicaraan yang mewakili suatu keadaan. Ada 2 jenis kuantor, yaitu
kuantor universal dan kuantor eksistensial.
1.
Kuantor
Universal/kuantor Umum
Kuantor universal dilambangkan dengan 
,
dan dibaca semua atau setiap.
,
dan dibaca semua atau setiap. x,
x 
A 
x B. dibaca, untuk setiap x, dimana x anggota A
maka x anggota B.
Untuk
x,
p(x) yang dibaca: untuk semua x berlaku P(x), atau x
S, p(x) yang dibaca: untuk semua x anggota S berlaku p(x), maka nilai kebenarannya ditentukan
oleh himpunan semesta pembicaraan, dan bentuk kalimat terbuka p(x).
x,
p(x) yang dibaca: untuk semua x berlaku P(x), atau x S, p(x) yang dibaca: untuk semua x anggota S berlaku p(x), maka nilai kebenarannya ditentukan
oleh himpunan semesta pembicaraan, dan bentuk kalimat terbuka p(x).
Contoh:
1) Semua
siswa SMA N 16 menggunakan sepatu hitam.
2)
P = {bilangan prima},
A = {bilangan asli}.
Pernyataan
dari himpunan-himpunan tersebut menjadi
“semua bilangan prima adalah bilangan asli”,
Kalimat
tersebut ekivalen dengan
“Jika
x adalah bilangan prima, maka x adalah bilangan asli”.
3) Tentukan
nilai kebenaran suatu kalimat terbuka p(x)
= 2x–1=3, dengan S={1,2,3}.
Jawab
Pernyataan
berkuantor universal x S, 2x–1=3
x S, 2x–1=3
Disubstitusikan x 1,
p(x) = 2(1)–1 = 1, dan 1 
3.
3.
p(x) = 2(2)–1 = 3, dan 3=3.
p(x) = 2(3)–1 = 5, dan 5 3.
3.
Maka p(x) = 2x–1=3
bernilai salah untuk setiap x S.
S.
4) Tentukan
nilai kebenaran suatu kalimat terbuka q(x)
= x2+3
0
, dengan S={-1, 0, 1}.
0
, dengan S={-1, 0, 1}.
Jawab:
Pernyataan
berkuantor universal x S, x2+30
x S, x2+30
Disubstitusikan x = –1 , maka q(x)
= (–1)2+3= 4, dan 40.
0.
Disubstitusikan x = 0, maka q(x)
= (0)2+3= 3, dan 30.
0.
Disubstitusikan x = 1, maka q(x)
= (1)2+3= 4, dan 40.
0.
Maka q(x)
= x2+30 ini bernilai benar untuk setiap x S.
0 ini bernilai benar untuk setiap x S.
2.
Kuantor
Eksistensial/kuantor Khusus
Kuantor
Eksistensial dilambangkan dengan 
, dan dibaca tidak
semua, ada atau beberapa, dengan anggotanya minimal satu.
, dan dibaca tidak
semua, ada atau beberapa, dengan anggotanya minimal satu. x, x G dan x P.
Contoh:
1)
Beberapa siswa SMA N 16 tidak menggunakan sepatu hitam.
2)
G = {bilangan genap}, P = {bilangan prima}.
“beberapa bilangan genap adalah bilangan
prima”, dan dapat dituliskan dengan lambang
Kalimat
tersebut ekivalen dengan
“ada
sebuah bilangan genap yang merupakan
bilangan prima”.
3) Tentukan
nilai kebenaran suatu kalimat terbuka p(x)
= 2x–1=3, dengan S={1,2,3}.
Jawab:
Pernyataan
berkuantor eksistensial x S, 2x–1=3
x S, 2x–1=3
Disubstitusikan x,
p(x) = 2(1)–1 = 1, dan 1 3
3
a p(x)
= 2(2)–1 = 3, dan 3=3
p(x) = 2(3)–1 = 5, dan 5 3.
3.
Maka p(x)
= 2x–1=3 bernilai benar untuk
beberapa x S.
S.
4) Tentukan
nilai kebenaran suatu kalimat terbuka q(x)
= x2+30
, dengan S={-1, 0, 1}.
0
, dengan S={-1, 0, 1}.
Jawab:
Pernyataan
berkuantor eksistensial x S, x2+30
x S, x2+30
Disubstitusikan x = –1 , maka q(x)
= (–1)2+3= 4, dan 40.
0.
Disubstitusikan x = 0, maka q(x)
= (0)2+3= 3, dan 30.
0.
Disubstitusikan x = 1, maka q(x)
= (1)2+3= 4, dan 40.
0.
Maka q(x)
= x2+30 ini bernilai benar untuk beberapa x S.
0 ini bernilai benar untuk beberapa x S.
Ingkaran dari pernyataan berkuantor
Ketentuan untuk
ingkaran dari sebuah pernyataan berlaku juga untuk pernyataan berkuantor.
1.
Ingkaran
untuk pernyataan berkuantor universal
Ingkaran dari
pernyataan berkuantor universal adalah sebuah pernyataan berkuantor
eksistensial.
Contoh:
1)
p(x) = Semua bilangan prima adalah
bilangan ganjil. (S)
ingkarannya: Ada bilangan prima yang bukan bilangan ganjil. (B)
2.
Ingkaran
untuk pernyataan berkuantor eksistensial
Ingkaran dari
pernyataan berkuantor eksistensial adalah sebuah pernyataan berkuantor universal.
Contoh:
1) p(x) = Ada
bilangan prima yang merupakan bilangan genap (B)
ingkarannya: Semua bilangan prima bukan merupakan
bilangan genap.
(S)
